У этого термина существуют и другие значения, см. Эквивалентность.

Отношение эквивалентности — абстрактное бинарное отношение между элементами данного множества, которое ведёт себя сходно с отношением равенства.

Содержание

Отношение эквивалентности ( ∼ {\displaystyle \sim } \sim) на множестве X {\displaystyle X} X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

  1. рефлексивность: a ∼ a {\displaystyle a\sim a} {\displaystyle a\sim a} для любого a {\displaystyle a} a в X {\displaystyle X} X;
  2. симметричность: если a ∼ b {\displaystyle a\sim b} {\displaystyle a\sim b}, то b ∼ a {\displaystyle b\sim a} {\displaystyle b\sim a};
  3. транзитивность: если a ∼ b {\displaystyle a\sim b} {\displaystyle a\sim b} и b ∼ c {\displaystyle b\sim c} {\displaystyle b\sim c}, то a ∼ c {\displaystyle a\sim c} {\displaystyle a\sim c}.

Запись вида « a ∼ b {\displaystyle a\sim b} {\displaystyle a\sim b}» читается как « a {\displaystyle a} a эквивалентно b {\displaystyle b} b».

Классом эквивалентности [ a ] ⊂ X {\displaystyle [a]\subset X} {\displaystyle [a]\subset X} элемента a ∈ X {\displaystyle a\in X} a\in X называется подмножество элементов, эквивалентных a {\displaystyle a} a; то есть,

[ a ] = { x ∈ X ∣ x ∼ a } {\displaystyle [a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}} {\displaystyle [a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}}.

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если b ∈ [ a ] {\displaystyle b\in [a]} {\displaystyle b\in [a]}, то [ a ] = [ b ] {\displaystyle [a]=[b]} {\displaystyle [a]=[b]}.

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества X {\displaystyle X} X по заданному отношению ∼ {\displaystyle \sim } \sim, обозначается X / ∼ {\displaystyle X/{\sim }} X/{\sim }.

Для класса эквивалентности элемента a {\displaystyle a} a используются следующие обозначения: [ a ] {\displaystyle [a]} [a], a / ∼ {\displaystyle a/{\sim }} a/{\sim }, a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} {\overline {a}}.

Множество классов эквивалентности по отношению ∼ {\displaystyle \sim } \sim является разбиением множества.

  • Равенство (« = {\displaystyle \;=} \;=»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
  • Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).
  • В евклидовой геометрии
    • Отношение конгруэнтности (« ≅ {\displaystyle \cong } \cong »).
    • Отношение подобия («   ∼ {\displaystyle \ \sim } \ \sim »).
    • Отношение параллельности прямых (« ∥ {\displaystyle \|} \|»).
  • Эквивалентность функций в математическом анализе: Говорят, что функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) эквивалентна функции g ( x ) {\displaystyle g(x)} g(x) при x → x 0 {\displaystyle x\rightarrow x_{0}} x\rightarrow x_{0}, если она допускает представление вида f ( x ) = α ( x ) g ( x ) {\displaystyle f(x)=\alpha (x)g(x)} {\displaystyle f(x)=\alpha (x)g(x)}, где α ( x ) → 1 {\displaystyle \alpha (x)\rightarrow 1} {\displaystyle \alpha (x)\rightarrow 1} при x → x 0 {\displaystyle x\rightarrow x_{0}} x\rightarrow x_{0}. В этом случае пишут f ( x ) ∼ g ( x ) {\displaystyle f(x)\sim g(x)} {\displaystyle f(x)\sim g(x)}, напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при x → x 0 {\displaystyle x\rightarrow x_{0}} x\rightarrow x_{0}. Если g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} g(x) \ne 0 при x ≠ x 0 {\displaystyle x\neq x_{0}} {\displaystyle x\neq x_{0}}, эквивалентность функций f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) и g ( x ) {\displaystyle g(x)} g(x) при x → x 0 {\displaystyle x\rightarrow x_{0}} x\rightarrow x_{0}, очевидно, равносильна соотношению lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1} \lim _{{x\rightarrow x_{0}}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=1.
  • Эквивалентность норм на векторном пространстве.
  • Отношение равномощности множеств.
  • Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
  • Эквивалентность категорий.
  • Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности ∼ {\displaystyle \sim } \sim, обозначается символом X / ∼ {\displaystyle X/{\sim }} X/{\sim } и называется фактор-множеством относительно ∼ {\displaystyle \sim } \sim. При этом сюръективное отображение

p : x ↦ [ x ] {\displaystyle p\colon x\mapsto [x]} {\displaystyle p\colon x\mapsto [x]}

называется естественным отображением (или канонической проекцией) X {\displaystyle X} X на фактор-множество X / ∼ {\displaystyle X/{\sim }} X/{\sim }.

Пусть X {\displaystyle X} X и Y {\displaystyle Y} Y — множества, f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} f\colon X\to Y — отображение, тогда бинарное отношение x ∼ y {\displaystyle x\sim y} {\displaystyle x\sim y}, определённое правилом

x ∼ y ⟺ f ( x ) = f ( y ) , x , y ∈ X {\displaystyle x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X} {\displaystyle x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X},

является отношением эквивалентности на X {\displaystyle X} X. При этом отображение f {\displaystyle f} f индуцирует отображение f ¯ : X / ∼ → Y {\displaystyle {\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y} {\displaystyle {\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y}, определяемое правилом

f ¯ ( [ x ] ) = f ( x ) {\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)} {\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}

или, что то же самое,

( f ¯ ∘ p ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle ({\overline {f}}\circ p)(x)=f(x)} (\overline {f}\circ p)(x)=f(x).

При этом получается факторизация отображения f {\displaystyle f} f на сюръективное отображение p {\displaystyle p} p и инъективное отображение f ¯ {\displaystyle {\overline {f}}} \overline {f}.

  • А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
  • А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
  • Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М: Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/Отношение_эквивалентности

Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

13. Виды отношений: Отношение эквивалентности и его связь с Ламинирование своими силами


Классы отношений отношения эквивалентности Бинарные отношения. Отношение эквивалентности, фактор
Классы отношений отношения эквивалентности Отношения эквивалентности и порядка - Познайка. Орг
Классы отношений отношения эквивалентности Отношение эквивалентности Математика FANDOM powered by
Классы отношений отношения эквивалентности Отношения эквивалентности - Научная библиотека
Классы отношений отношения эквивалентности Отношение эквивалентности Википедия
Классы отношений отношения эквивалентности Fashion collection november by Roma Ivlev - issuu
Классы отношений отношения эквивалентности LED лампа для полимеризации гель-лака Aliexpress
Классы отношений отношения эквивалентности Nui Very: верхняя женская одежда высокого качества в интернет
Классы отношений отношения эквивалентности Volvo XC90 2003, 2.9 литра, Всем привет



ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ